I. Définitions & Propriétés 

1. Section conique

  Cliquez ici pour voir la définition de l'ellipse comme intersection d'un plan avec un cône.

2. Définition bifocale

  Soit P un plan, F et F' deux points fixes de P et a un réel tel que 2a > FF'. Soit (E) une ellipse. On a alors :

  L'ellipse est donc l'ensemble des points du plan dont la somme des distances à deux points fixes F et F' est une constante strictement supérieure à FF'. Cette définition est dite bifocale du fait qu'elle fait intervenir deux points F et F' appelés foyers de l'ellipse. 

Remarquons que lorsque ces foyers sont de plus en plus proches, notre ellipse devient de plus en plus arrondie jusqu'à ce qu'elle devienne un cercle. Le cercle n'est donc qu'un cas particulier de l'ellipse.
3. Définition par foyer et cercle directeur

4. Définition par foyer et directrice (monofocale)

  Choisissons un plan P, une droite D incluse dans P et un point F de P n'appartenant pas à D. Appelons M un point quelconque de P et H son projeté orthogonal sur D. Une ellipse (E) est alors l'ensemble des points M du plan tels que :

 

MF = e MH     ()

  • D est une directrice de (E).

  • F est le foyer de (E) associé à D.

  • Pour une ellipse donnée, le nombre e est unique ; on l'appelle excentricité de (E). 

  • Si on appelle 2a le grand axe de (E) et 2c sa distance focale on aura

  La condition est une condition propre à l'ellipse. Vous pouvez cliquer ici pour voir ce qui se passe lorsque a d'autres valeurs de e.

5. Propriétés et vocabulaire

Éléments de symétries :

  Toute ellipse de foyers distincts F et F' admet  deux axes de symétrie et un centre de symétrie.

  • Le premier axe de symétrie est la droite (FF') appelée axe focal de l'ellipse

  • Le second axe de symétrie est la médiatrice du segment  [FF'], appelée axe non focal de l'ellipse.

  • Le centre de symétrie est le milieu du segment [FF']. C'est le centre de (E)

  • Les points A, A', B et B' sont les sommets

Remarques :

  • Le cercle de centre l'un des foyers et de rayon 2a est le cercle directeur relatif à ce foyer.

  • Le cercle de centre O (le centre de l'ellipse) et de rayon a est le cercle principal de l'ellipse.

  • Le cercle de centre O et de rayon b est le cercle secondaire de l'ellipse.  

  Le cercle principal est l'image d'un cercle directeur de centre un foyer par l'homothétie de centre l'autre foyer et de rapport .  Voir figure

  • L'ellipse (y compris le cercle) est la seule conique fermée. Elle est donc la seule à avoir une aire et un périmètre finis. Son aire A et son périmètre P sont déterminés par les formules :

       lorsque a = b on retrouve l'aire et le périmètre du cercle

Théorème 1:

  Tout point d'une ellipse de foyers distincts est le centre d'un cercle passant par un foyer et tangent au cercle directeur relatif à l'autre foyer.

6. Construction point par point

  Première méthode...   

  Deuxième méthode... 

  Troisième méthode... 

  Dessiner une ellipse avec une ficelle...

 

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