On donne la figure suivante : 
On demande de construire un cercle tangent intérieurement à (C) et extérieurement à (C')  

Problème 2  
  Construire une ellipse connaissant un foyer et trois de ses tangentes.

Solutions

Solution 1  (voir aussi l'applet )
  On désigne par R et R' les rayons respectifs de (C) et (C'). 
Soit M le centre d'un cercle (C'' ) tangent intérieurement à (C) et extérieurement à (C'), soit J le point de tangence de (C") avec (C' ) et K celui de (C") avec (C). On a alors : 
MJ + JI = MI (1) et OK - MK = OM (2). Or K (C") et J(C") donc  MJ = MK. L'égalité (2) devient alors OK - MJ = OM (3). En faisant la somme des égalités (1) et (3) , on obtient OK+IJ = MI+MO

ce qui équivaut à MI+MO=R+R'  or  R+R' > OI (car  (C') est tangent  intérieurement à (C)) donc le point M appartient à l'ellipse de foyer O et I et de grand axe R+R'.
Il suffit alors de construire un point de cette ellipse et ce point sera le centre d'un cercle tangent an même temps à (C) et à (C').