EULER Leonhard
   1707-1783

Suisse, élève de Jean Bernoulli. Sans doute un des plus grands mathématiciens de tous les temps. Il s'installa à Saint Petersbourg auprès de Pierre Ier le Grand puis à Berlin (1741) sous le règne de Frédéric II. Vers la fin de sa vie, alors aveugle, il revint à Saint-Petersbourg invité par Catherine II.

Son oeuvre est considérable. Euler intervint dans les trois domaines fondamentaux de la science de son époque :

• L'astronomie (orbites planétaires, trajectoires des comètes).
• Les sciences physiques (champs magnétiques, hydrodynamique, optique, nature ondulatoire de la lumière,...)
• Les mathématiques, dans toutes ses branches, de l'arithmétique à la géométrie différentielle en passant par l'analyse numérique et fonctionnelle, le calcul des variations, les courbes et les surfaces algébriques, le calcul des probabilités et les premiers aspects de la théorie des graphes et de la topologie.

Ses fils Jean-Albert (1734-1800), Charles (1740-1790) et Christophe (1743-1812) furent aussi des mathématiciens renommés à Saint-Petersbourg.

• Fondateur de l'analyse fonctionnelle, il publiera de nombreux traités, précisera la notion de fonction et adoptera la notation f(x), également utilisée par Clairaut, pour désigner l'image par une fonction f d'un nombre x, plus adaptée que celle de Jean Bernoulli qui utilisait la notation f_x.
• Prolongeant les travaux des Bernoulli, il affine la notion de fonction dérivée, crée la notion d'équation aux dérivées partielles (1734) et le calcul des variations (1744) : recherche d'extremums sur les surfaces, une des branches les plus fécondes de l'analyse.
• En 1770, Euler publie en allemand (le latin est de plus en plus révolu dans les publications scientifiques) une Introduction complète à l'algèbre (Vollständige Einleitung zur Algebra) où l'on peut considérer que tout sera dit quant aux nombres négatifs et à leur statut définitif de véritable nombre. De même, les nombres complexes (encore appelés imaginaires, le qualificatif complexe est de Gauss avec la forme a + bi), sont définis et leurs propriétés étudiées.
• Euler conçoit déjà la notion de nombre transcendant, voire de fonction transcendante : que l'on ne peut obtenir qu'au moyen de séries convergentes (comme p, e, ln 2 et plus généralement e^x, sin x, ln x,...). Cependant, R n'étant pas encore construit, les notions de limite, de différentielle et de convergence restent ecore approximatives. Le concept de continuité n'est pas encore exhibé ni, a fortiori, celui de continuité uniforme pouvant assurer, dans le cas d'une série convergente de fonctions, la continuité de la somme. Ces préoccupations apparaîtront tout particulièrement dès le début du 19e siècle avec Bolzano, Cauchy, Abel, puis Riemann et Weierstrass.

Le développement du calcul différentiel et intégral répond à la volonté de résoudre efficacement les grands problèmes scientifiques : l'aube du siècle des lumières est celle de la technologie (mécanique, hydraulique, production d'énergie : vapeur, électricité). Il s'agit de comprendre les lois de la nature, du mouvement (vitesse, accélération, extremums).

• Cercle des neuf points d'Euler : étant donné un triangle ABC d'orthocentre H, ce cercle passe par les pieds des hauteurs, les pieds des médianes et les milieux de AH, BH et CH. Son centre W est le milieu de OH (O étant le centre du cercle circonscrit).

• Droite d'Euler : si le triangle n'est pas équilatéral, c'est la droite (OH) contenant G, centre de gravité du triangle ABC, et W.

• Dans son traité Introductio in Analysin infinitorum (1748), il procède à une vaste synthèse des connaissances en matière de fonctions trigonométriques, logarithmes et exponentielles (de base quelconque) en posant par, définition que :      

         Si y = a^x (fonction exponentielle de base a, a > 0, a ¹ 1 ) alors x est le logarithme de y dans la base a :

          y = a^x   x = log_a y

•  Euler assoit l'usage définitif :

                    de la notation i pour la "racine carrée" de -1 (1777), plus rigoureusement pour le nombre complexe 

                     dont le carré est - 1;

• Formules d'Euler : il établit alors ses célèbres formules établissant le lien entre la trigonométrie, l'exponentielle et l'analyse complexe :

  e^ix = cos x + i.sin x   et   e^ip + 1 = 0

où se rencontrent, dans la seconde, les cinq grands et mystérieux nombres de l'analyse réelle et complexe. Euler ayant noté

• C'est à Euler que l'on doit l'écriture ci-dessous afin de définir le logarithme hyperbolique, dit de nos jours népérien, forgé sur le nom de John Napier (Neper), autrefois noté Log et noté aujourd'hui ln :

         Le nombre e est tel que ln e = 1.

         Constante d'Euler : Dans son Introductio, Euler établit l'existence de la célèbre constante qui portera son nom :

où ln désigne le logarithme népérien. La nature de C (aussi notée g , gamma minucule grec : g), algébrique, irrationnelle, voire transcendante, est un problème ouvert. On en connaît aujourd'hui quelques 20 000 décimales. Rappelons que c'est parfois le nombre e, base des logarithmes népériens qui est appelé constante d'Euler.

• Reprenant un célèbre problème arithmétique de Pythagore, présent dans les Eléments d'Euclide, Euler étudie les nombres parfaits , c'est-à-dire égaux à la somme de leurs diviseurs propres, comme 6, 28, 496, ... (un diviseur propre d'un nombre entier est un diviseur de ce nombre autre que lui-même).

Euler conjectura et prouva :

      L'entier 8128 = 2⁶(2⁷ - 1) est ainsi le quatrième nombre parfait pair , le cinquième est 33550336 avec n = 13. Rappelons que l'existence de nombres parfaits impairs est un problème ouvert.

• Euler prouva également (1732) la non primarité (en général) des nombres de Fermat , liés à ceux de Mersenne, en montrant que F₅ est divisible par 641. S'attaquant au fameux grand théorème de Fermat, il leprouva pour le cas n = 3.

• Formule pour les polyèdres convexes : dite souvent de Euler (1752), mais que l'on doit en fait, d'après Hilbert, à Descartes et qui sera complètement établie par Cauchy :

où S, F et A désignent respectivement le nombre de sommets, de faces et d'arêtes. De cette formule, on déduit facilement qu'il n'y a que cinq polyèdres réguliers convexes.

• Euler intervint également en analyse statistique (problèmes d'ajustement) dans son traité des Inégalités du mouvement de Saturne et Jupiter .