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Pierre Simon de FERMAT
1601-1665
Un des plus
grands mathématiciens français. Avec Pascal,
il met en place une nouvelle branche des mathématiques : le
calcul des probabilités. En même temps que Descartes,
il posera les principes de la géométrie analytique (1636) et se querelle
avec ce dernier sur les problèmes de tangence aux courbes, point de départ de
la notion
de nombre dérivé et du calcul différentiel.
Dans un traité sur les problèmes d'extremums (1637), il énonce
un résultat fondamental, appelé parfois théorème de Fermat et s'écrivant
de nos jours :
- Si une fonction numérique f dérivable
sur ]a,b[ admet un extremum en un point c de cet intervalle, alors f'(c) = 0
De nombreux résultats sont attachés à son nom :
- La fameuse conjecture, dite
grand
théorème (ou dernier théorème)
de Fermat énonce que si n est supérieur à 2, il n'existe pas
d'entiers x, y et z non nuls pour lesquels : xn
+ yn = zn
Elle a été prouvée récemment (juin 1993) par le mathématicien
anglais Andrew
Wiles après 350 années d'efforts et de recherche
des mathématiciens du monde entier (une forte récompense
promise au 19è siècle par l'Académie des Sciences). Fermat, en marge d'un
texte de Diophante,
affirma l'avoir prouvée de façon merveilleuse , mais ne pas avoir
assez de place pour y insérer sa démonstration. Il la prouva en tout cas
pour n = 3 et n = 4, comme le firent Euler
et Gauss
(indépendamment l'un de l'autre), par sa méthode de descente
infinie.
- Le petit
théorème de Fermat exprime que si p est un
entier
premier, alors, pour tout entier a, ap
aura même reste que a dans la division euclidienne par p : ap-1 - 1 est
divisible par p si p est un nombre premier
La réciproque de ce théorème est fausse, par exemple :on
prend a = 2 et p = 341
- Un autre théorème de Fermat :
tout entier p premier de la forme 4n + 1 est une somme de deux
carrés.
- Un résultat établi par Fermat
: le
seul entier naturel x dont le cube privé de 2 est un carré est 3 :
x entier, n entier : x3 - 2 = n2
si et seulement si
x = 3
- Une conjecture de Fermat (et
de Pascal),
prouvée par Gauss
: tout nombre entier est la somme d'au plus trois nombres
triangulaires.
( Le nombre
triangulaire est la somme des n premiers entiers
naturels. Une
importante étude des nombres triangulaires fut donnée par Alhazen
afin d'obtenir certaines quadratures (calculs d'aires) et cubatures (calculs
de volumes)).
- Nombres de Fermat et
polygones réguliers : ces nombres, de la forme , sont souvent notés Fp. Ils interviennent dans les problèmes de
constructibilité des polygones
réguliers.
- Problème
de Fermat (à distinguer du point de Fermat, voir ci-après)
: Etant donné un triangle ABC, quel est le point M du plan (ABC) minimisant la
somme des distances MA + MB +MC ?
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