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Considérons
un segment [AB]. Elevons les segments isométriques [BC] et [AD]
perpendiculaires à [AB]. Joignons C et D. On obtient un quadrilatère
: s'il vous semble évident que c'est un rectangle, pour le prouver, il vous
faudra utiliser le 5ème postulat d'Euclide
(axiome des parallèles) : par un point situé hors d'une droite, on ne peut
faire passer qu'une seule parallèle à cette droite. Les quatre premiers
postulats d'Euclide
permettent de prouver l'égalité des angles en C et en D. Le cinquième postulat
permet de prouver que ces angles sont droits. Inversement, si nous admettons que
ces angles sont droits, alors ils sont égaux (4è postulat) et le 5ème postulat
en découle.
Il y a ainsi 3 hypothèses :
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celle de l'angle droit :
C et D sont droits et nous
obtenons la géométrie euclidienne
élémentaire (géométrie plane et géométrie de l'espace)
-
celle de l'angle obtus :
C et D sont obtus et nous
obtenons la géométrie de Riemann,
dite de la sphère où les droites sont ses grands cercles et les triangles,
des triangles
sphériques : les
droites sont les grands cercles de la sphère. Pour aller d'un point à un
autre de la sphère par le chemin le plus court, il faut suivre le
grand cercle passant par ces points. C'est le principe utilisé en
navigation maritime et aérienne. Deux droites quelconques se rencontrent
donc en deux points. Pour cette géométrie, la somme des angles d'un
triangle (triangle
sphérique) est supérieure à 180° : sur le
dessin de droite, le triangle dont les côtés sont des quarts de méridiens
possède déjà deux angles droits… (cette somme est constante, elle ne dépend
que du rayon de courbure de la sphère, donc que de sa courbure).
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celle de l'angle aigu :
C et D sont aigus et nous
obtenons la géométrie de Lobatchevski,
dite aussi de Bolyai
, entrevue par Gauss
et étudiée également par Beltrami,
dont une représentation peut être donnée sur la pseudosphère :
Ces
nouvelles géométries s'avèrent adaptées à l'étude de notre univers où
l'on a pu constater que la matière "courbe" l'espace dans lequel elle
évolue (trou noir, rayons lumineux au voisinage du Soleil) , corroborant
la théorie de la relativité générale (1916) d'Albert
Einstein (1879-1955) dans une conception non euclidienne de
l'espace.
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